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Grok | 完全微分方程式と積分因子

完全微分方程式と積分因子について、具体例を交えてわかりやすく解説します。数式はTeX形式で記述します。


1. 完全微分方程式とは

完全微分方程式は、以下のような形で表される微分方程式です:


P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0

ここで、関数 ( P(x, y) ) と ( Q(x, y) ) が与えられたとき、この方程式が「完全微分方程式」である条件は、ある関数 ( u(x, y) ) が存在して、


P(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad Q(x, y) = \frac{\partial u}{\partial y}

となることです。このとき、方程式は以下のように書き換えられます:


du = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy = P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0

この場合、解は ( u(x, y) = C ) (( C ) は任意定数)で与えられます。

完全微分方程式の判定条件

方程式が完全微分であるための必要十分条件は、以下の偏微分が等しいことです:


\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

これを完全性の条件と呼びます。


2. 具体例:完全微分方程式

例1:完全微分方程式の解法

次の方程式を考えます:


(2x + y) \, dx + (x + 6y) \, dy = 0

ステップ1:完全性の確認

ここで、( P(x, y) = 2x + y )、( Q(x, y) = x + 6y ) です。完全性の条件をチェックします:


\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + y) = 1

\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x + 6y) = 1


\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 1

条件が満たされているので、この方程式は完全微分方程式です。

ステップ2:関数 ( u(x, y) ) の構築

完全微分方程式の解は ( u(x, y) = C ) の形になります。まず、( \frac{\partial u}{\partial x} = P(x, y) = 2x + y ) より、

[tex: u(x, y) = \int (2x + y) \, dx = x2 + xy + f(y) ]

ここで、( f(y) ) は ( y ) の関数(積分定数)です。次に、( \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y) = x + 6y ) を満たすように ( f(y) ) を決定します:

[tex: \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x2 + xy + f(y)) = x + f'(y) ]

これが ( Q(x, y) = x + 6y ) と等しいので、


x + f'(y) = x + 6y


f'(y) = 6y

よって、

[tex: f(y) = \int 6y \, dy = 3y2 + C_1 ]

(( C_1 ) は定数)。したがって、

[tex: u(x, y) = x2 + xy + 3y2 + C_1 ]

ステップ3:解の記述

方程式の解は ( u(x, y) = C ) なので、

[tex: x2 + xy + 3y2 = C ]

ここで、( C ) は任意定数(( C_1 ) を吸収)。


3. 積分因子について

完全微分方程式でない場合、つまり ( \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x} ) の場合、方程式を完全微分方程式に変換するために積分因子 ( \mu(x, y) ) を導入します。積分因子を両辺にかけることで、

[
\mu(x, y) P(x, y) \, dx + \mu(x, y) Q(x, y) \, dy = 0

が完全微分方程式になるようにします。変換後の完全性の条件は:

[
\frac{\partial}{\partial y} (\mu P) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu Q)

積分因子の求め方

積分因子 ( \mu ) は、方程式の形によって異なりますが、以下のような場合に簡単な形(例えば ( \mu(x) ) や ( \mu(y) ))で求められることがあります。


4. 具体例:積分因子を用いた解法

例2:積分因子の使用

次の方程式を考えます:

[[tex: (3x2 + y) \, dx + (x2 y - x) \, dy = 0 ]

ステップ1:完全性の確認

[tex: P(x, y) = 3x2 + y, \quad Q(x, y) = x2 y - x ]

[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x2 + y) = 1 ] [[tex: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x2 y - x) = 2xy - 1 ]

[
\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}

よって、この方程式は完全微分方程式ではありません。

ステップ2:積分因子の探索

積分因子 ( \mu ) が ( x ) の関数 ( \mu(x) ) であると仮定します。この場合、完全性の条件は:

[
\frac{\partial}{\partial y} (\mu(x) P) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu(x) Q)

[
\mu(x) \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{d \mu(x)}{dx} Q + \mu(x) \frac{\partial Q}{\partial x}

代入すると、

[[tex: \mu(x) \cdot 1 = \frac{d \mu(x)}{dx} (x2 y - x) + \mu(x) (2xy - 1) ]

この式を ( y ) の係数について整理するのは複雑なので、別の方法として、積分因子が ( \mu(x) ) の形である場合、以下の式が成り立つことを利用します:

[
\frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q} = f(x)

計算すると、

[
\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 - (2xy - 1) = 2 - 2xy
[[tex: Q = x2 y - x = x (xy - 1) ]

[
\frac{2 - 2xy}{x (xy - 1)} = \frac{2 (1 - xy)}{x (xy - 1)} = -\frac{2}{x}

これは ( y ) に依存しないので、( f(x) = -\frac{2}{x} )。よって、積分因子は:

[[tex: \mu(x) = e^{\int f(x) \, dx} = e^{\int -\frac{2}{x} \, dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x2} ]

ステップ3:積分因子を適用

両辺に ( \mu(x) = \frac{1}{x2} ) をかけます:

[[tex: \frac{1}{x2} (3x2 + y) \, dx + \frac{1}{x2} (x2 y - x) \, dy = 0 ]

[[tex: \left(3 + \frac{y}{x2}\right) \, dx + \left(y - \frac{1}{x}\right) \, dy = 0 ]

ステップ4:完全性の再確認

新しい[tex: ( P = 3 + \frac{y}{x2} )]、[( Q = y - \frac{1}{x} ) で完全性を確認:

[[tex: \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(3 + \frac{y}{x2}\right) = \frac{1}{x2} ] [[tex: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(y - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x2} ]

[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

完全微分方程式になりました。

ステップ5:解の構築

[[tex: \frac{\partial u}{\partial x} = 3 + \frac{y}{x2} ]

[[tex: u = \int \left(3 + \frac{y}{x2}\right) \, dx = 3x - \frac{y}{x} + f(y) ]

[
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{x} + f'(y) = y - \frac{1}{x}

[
f'(y) = y
[[tex: f(y) = \frac{y2}{2} + C_1 ]

よって、

[[tex: u(x, y) = 3x - \frac{y}{x} + \frac{y2}{2} ]

解は:

[[tex: 3x - \frac{y}{x} + \frac{y2}{2} = C ]


5. まとめ

  • 完全微分方程式は、完全性の条件 ( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} ) を満たすとき、関数 ( u(x, y) ) を求めて解が得られます。
  • 完全でない場合、積分因子 ( \mu(x, y) ) を用いて方程式を完全化し、同様に解きます。
  • 例1では完全微分方程式を直接解き、例2では積分因子を用いて解きました。

この説明で、完全微分方程式と積分因子の概念が明確になったと思います!さらに質問があれば教えてください。