完全微分方程式と積分因子について、具体例を交えてわかりやすく解説します。数式はTeX形式で記述します。
1. 完全微分方程式とは
完全微分方程式は、以下のような形で表される微分方程式です:
ここで、関数 ( P(x, y) ) と ( Q(x, y) ) が与えられたとき、この方程式が「完全微分方程式」である条件は、ある関数 ( u(x, y) ) が存在して、
となることです。このとき、方程式は以下のように書き換えられます:
この場合、解は ( u(x, y) = C ) (( C ) は任意定数)で与えられます。
完全微分方程式の判定条件
方程式が完全微分であるための必要十分条件は、以下の偏微分が等しいことです:
これを完全性の条件と呼びます。
2. 具体例:完全微分方程式
例1:完全微分方程式の解法
次の方程式を考えます:
ステップ1:完全性の確認
ここで、( P(x, y) = 2x + y )、( Q(x, y) = x + 6y ) です。完全性の条件をチェックします:
条件が満たされているので、この方程式は完全微分方程式です。
ステップ2:関数 ( u(x, y) ) の構築
完全微分方程式の解は ( u(x, y) = C ) の形になります。まず、より、
[tex: u(x, y) = \int (2x + y) \, dx = x2 + xy + f(y) ]
ここで、の関数(積分定数)です。次に、
を満たすように
を決定します:
[tex: \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x2 + xy + f(y)) = x + f'(y) ]
これがと等しいので、
よって、
[tex: f(y) = \int 6y \, dy = 3y2 + C_1 ]
(( C_1 ) は定数)。したがって、
[tex: u(x, y) = x2 + xy + 3y2 + C_1 ]
ステップ3:解の記述
方程式の解は ( u(x, y) = C ) なので、
[tex: x2 + xy + 3y2 = C ]
ここで、( C ) は任意定数(( C_1 ) を吸収)。
3. 積分因子について
完全微分方程式でない場合、つまり ( \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x} ) の場合、方程式を完全微分方程式に変換するために積分因子 ( \mu(x, y) ) を導入します。積分因子を両辺にかけることで、
[
が完全微分方程式になるようにします。変換後の完全性の条件は:
[
積分因子の求め方
積分因子 ( \mu ) は、方程式の形によって異なりますが、以下のような場合に簡単な形(例えば ( \mu(x) ) や ( \mu(y) ))で求められることがあります。
4. 具体例:積分因子を用いた解法
例2:積分因子の使用
次の方程式を考えます:
[[tex: (3x2 + y) \, dx + (x2 y - x) \, dy = 0 ]
ステップ1:完全性の確認
[tex: P(x, y) = 3x2 + y, \quad Q(x, y) = x2 y - x ]
[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x2 + y) = 1 ] [[tex: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x2 y - x) = 2xy - 1 ]
[
よって、この方程式は完全微分方程式ではありません。
ステップ2:積分因子の探索
積分因子 ( \mu ) が ( x ) の関数 ( \mu(x) ) であると仮定します。この場合、完全性の条件は:
[
[
代入すると、
[[tex: \mu(x) \cdot 1 = \frac{d \mu(x)}{dx} (x2 y - x) + \mu(x) (2xy - 1) ]
この式を ( y ) の係数について整理するのは複雑なので、別の方法として、積分因子が ( \mu(x) ) の形である場合、以下の式が成り立つことを利用します:
[
計算すると、
[
[[tex:
Q = x2 y - x = x (xy - 1)
]
[
これは ( y ) に依存しないので、( f(x) = -\frac{2}{x} )。よって、積分因子は:
[[tex: \mu(x) = e^{\int f(x) \, dx} = e^{\int -\frac{2}{x} \, dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x2} ]
ステップ3:積分因子を適用
両辺に ( \mu(x) = \frac{1}{x2} ) をかけます:
[[tex: \frac{1}{x2} (3x2 + y) \, dx + \frac{1}{x2} (x2 y - x) \, dy = 0 ]
[[tex: \left(3 + \frac{y}{x2}\right) \, dx + \left(y - \frac{1}{x}\right) \, dy = 0 ]
ステップ4:完全性の再確認
新しい[tex: ( P = 3 + \frac{y}{x2} )]、[で完全性を確認:
[[tex: \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(3 + \frac{y}{x2}\right) = \frac{1}{x2} ] [[tex: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(y - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x2} ]
[
完全微分方程式になりました。
ステップ5:解の構築
[[tex: \frac{\partial u}{\partial x} = 3 + \frac{y}{x2} ]
[[tex: u = \int \left(3 + \frac{y}{x2}\right) \, dx = 3x - \frac{y}{x} + f(y) ]
[
[
[[tex:
f(y) = \frac{y2}{2} + C_1
]
よって、
[[tex: u(x, y) = 3x - \frac{y}{x} + \frac{y2}{2} ]
解は:
[[tex: 3x - \frac{y}{x} + \frac{y2}{2} = C ]
5. まとめ
- 完全微分方程式は、完全性の条件 ( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} ) を満たすとき、関数 ( u(x, y) ) を求めて解が得られます。
- 完全でない場合、積分因子 ( \mu(x, y) ) を用いて方程式を完全化し、同様に解きます。
- 例1では完全微分方程式を直接解き、例2では積分因子を用いて解きました。
この説明で、完全微分方程式と積分因子の概念が明確になったと思います!さらに質問があれば教えてください。