HODGE'S PARROT

完全微分方程式と積分因子について、具体例を交えてわかりやすく解説します。数式はTeX形式で記述します。

1. 完全微分方程式とは

完全微分方程式は、以下のような形で表される微分方程式です：

$P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0$

ここで、関数 ( P(x, y) ) と ( Q(x, y) ) が与えられたとき、この方程式が「完全微分方程式」である条件は、ある関数 ( u(x, y) ) が存在して、

$P(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad Q(x, y) = \frac{\partial u}{\partial y}$

となることです。このとき、方程式は以下のように書き換えられます：

$du = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy = P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0$

この場合、解は ( u(x, y) = C ) （( C ) は任意定数）で与えられます。

完全微分方程式の判定条件

方程式が完全微分であるための必要十分条件は、以下の偏微分が等しいことです：

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

これを完全性の条件と呼びます。

2. 具体例：完全微分方程式

例1：完全微分方程式の解法

次の方程式を考えます：

$(2x + y) \, dx + (x + 6y) \, dy = 0$

ステップ1：完全性の確認

ここで、( P(x, y) = 2x + y )、( Q(x, y) = x + 6y ) です。完全性の条件をチェックします：

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + y) = 1$ $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x + 6y) = 1$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 1$

条件が満たされているので、この方程式は完全微分方程式です。

ステップ2：関数 ( u(x, y) ) の構築

完全微分方程式の解は ( u(x, y) = C ) の形になります。まず、 $( \frac{\partial u}{\partial x} = P(x, y) = 2x + y )$ より、

[tex: u(x, y) = \int (2x + y) \, dx = x² + xy + f(y) ]

ここで、 $( f(y) ) は ( y )$ の関数（積分定数）です。次に、 $( \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y) = x + 6y )$ を満たすように $( f(y) )$ を決定します：

[tex: \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x² + xy + f(y)) = x + f'(y) ]

これが $( Q(x, y) = x + 6y )$ と等しいので、

$x + f'(y) = x + 6y$

$f'(y) = 6y$

よって、

[tex: f(y) = \int 6y \, dy = 3y² + C_1 ]

（( C_1 ) は定数）。したがって、

[tex: u(x, y) = x² + xy + 3y² + C_1 ]

ステップ3：解の記述

方程式の解は ( u(x, y) = C ) なので、

[tex: x² + xy + 3y² = C ]

ここで、( C ) は任意定数（( C_1 ) を吸収）。

3. 積分因子について

完全微分方程式でない場合、つまり ( \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x} ) の場合、方程式を完全微分方程式に変換するために積分因子 ( \mu(x, y) ) を導入します。積分因子を両辺にかけることで、

[ $\mu(x, y) P(x, y) \, dx + \mu(x, y) Q(x, y) \, dy = 0$

が完全微分方程式になるようにします。変換後の完全性の条件は：

[ $\frac{\partial}{\partial y} (\mu P) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu Q)$

積分因子の求め方

積分因子 ( \mu ) は、方程式の形によって異なりますが、以下のような場合に簡単な形（例えば ( \mu(x) ) や ( \mu(y) )）で求められることがあります。

4. 具体例：積分因子を用いた解法

例2：積分因子の使用

次の方程式を考えます：

[[tex: (3x² + y) \, dx + (x² y - x) \, dy = 0 ]

ステップ1：完全性の確認

[tex: P(x, y) = 3x² + y, \quad Q(x, y) = x² y - x ]

[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x² + y) = 1 ] [[tex: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x² y - x) = 2xy - 1 ]

[ $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$

よって、この方程式は完全微分方程式ではありません。

ステップ2：積分因子の探索

積分因子 ( \mu ) が ( x ) の関数 ( \mu(x) ) であると仮定します。この場合、完全性の条件は：

[ $\frac{\partial}{\partial y} (\mu(x) P) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu(x) Q)$

[ $\mu(x) \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{d \mu(x)}{dx} Q + \mu(x) \frac{\partial Q}{\partial x}$

代入すると、

[[tex: \mu(x) \cdot 1 = \frac{d \mu(x)}{dx} (x² y - x) + \mu(x) (2xy - 1) ]

この式を ( y ) の係数について整理するのは複雑なので、別の方法として、積分因子が ( \mu(x) ) の形である場合、以下の式が成り立つことを利用します：

[ $\frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q} = f(x)$

計算すると、

[ $\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 - (2xy - 1) = 2 - 2xy$ [[tex: Q = x² y - x = x (xy - 1) ]

[ $\frac{2 - 2xy}{x (xy - 1)} = \frac{2 (1 - xy)}{x (xy - 1)} = -\frac{2}{x}$

これは ( y ) に依存しないので、( f(x) = -\frac{2}{x} )。よって、積分因子は：

[[tex: \mu(x) = e^{\int f(x) \, dx} = e^{\int -\frac{2}{x} \, dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x²} ]

ステップ3：積分因子を適用

両辺に ( \mu(x) = \frac{1}{x²} ) をかけます：

[[tex: \frac{1}{x²} (3x² + y) \, dx + \frac{1}{x²} (x² y - x) \, dy = 0 ]

[[tex: \left(3 + \frac{y}{x²}\right) \, dx + \left(y - \frac{1}{x}\right) \, dy = 0 ]

ステップ4：完全性の再確認

新しい[tex: ( P = 3 + \frac{y}{x²} )]、[ $( Q = y - \frac{1}{x} )$ で完全性を確認：

[[tex: \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(3 + \frac{y}{x²}\right) = \frac{1}{x²} ] [[tex: \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(y - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x²} ]

[ $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

完全微分方程式になりました。

ステップ5：解の構築

[[tex: \frac{\partial u}{\partial x} = 3 + \frac{y}{x²} ]

[[tex: u = \int \left(3 + \frac{y}{x²}\right) \, dx = 3x - \frac{y}{x} + f(y) ]

[ $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{x} + f'(y) = y - \frac{1}{x}$

[ $f'(y) = y$ [[tex: f(y) = \frac{y²}{2} + C_1 ]

よって、

[[tex: u(x, y) = 3x - \frac{y}{x} + \frac{y²}{2} ]

解は：

[[tex: 3x - \frac{y}{x} + \frac{y²}{2} = C ]

5. まとめ

完全微分方程式は、完全性の条件 ( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} ) を満たすとき、関数 ( u(x, y) ) を求めて解が得られます。
完全でない場合、積分因子 ( \mu(x, y) ) を用いて方程式を完全化し、同様に解きます。
例1では完全微分方程式を直接解き、例2では積分因子を用いて解きました。

この説明で、完全微分方程式と積分因子の概念が明確になったと思います！さらに質問があれば教えてください。